一些概率分布

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二项分布和多项式分布

二项分布

伯努利过程

伯努利过程及其特点：

• 实验由 $n$ 次试验构成，每次试验都被称为一次 伯努利试验

• 每次试验的结果都能分为成功或失败

• 每次试验成功的概率 $p$ 是一个常数

• 重复试验是独立的

一个伯努利试验成功的概率为 $p$ ，失败的概率为 $q=1-p$ 。把 $n$ 次独立试验中成功次数作为二项分布变量 $X$ ，其概率分布为：

$ P(X=x) = b(x;n,p) = \binom{n}{x} p^x q^{n-x}, x=0,1,2,…,n$

其中 $ \binom{n}{x}$ 代表划分：

将 $n$ 个元素划分为 $r$ 个单元，第一个单元有$n_1$ 个元素，第二个单元有 $n_2$ 个元素，以此类推，则共有：

$\binom{n}{n_1,n_2,n_3…,n_r}=\frac{n!}{n_1!n_2!…n_r!}$

种划分，其中 $n_1+n_2+…+n_r=n$

许多问题中，我们感兴趣的是不考虑顺序时从 $n$ 个元素中选择 $r$ 个元素有多少种方式。这些选择叫做 组合 。一个组合实际上是一个有两个单元的划分，一个单元包含 $r$ 个元素，另一个包含剩下的 $n-r$ 个元素。次组合数记为：

$\binom{n}{r,n-r},通常记为 \binom{n}{r}$

从 $n$ 个不同的元素中一次取 $r$ 个元素的组合数为：

$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

多项式分布

多项式试验

如果每次试验可能的结果多于两种，二项试验就变成了 多项式试验 了。

如果给定的试验有 $k$ 种可能结果 $E_1,E_2,E_3, \dots,E_k$ ，对应的概率分别为 $p_1,p_2,p_3,\dots,p_k$ ，随机变量 $X_1,X_2,\dots,X_k$ 分别表示在 $n$ 次独立试验中结果 $E_1,E_2,E_3, \dots,E_k$ 出现的次数，则$X_1,X_2,\dots,X_k$ 的概率分布为：

$f(x_1,x_2,\dots,x_k;p_1,p_2,\dots,p_k,n) = \binom{n}{x_1,x_2,\dots,x_k}p_1^{x_1} p_2^{x_2} \dots p_k^{x_k}$，其中：

$\sum \limits{i=1} \limits^{k}x_i = n, \sum \limits{i=1} \limits ^{k}p_i=1$

泊松分布

泊松试验

试验产生一个可数的随机变量 $X$ ，它表示在某段时间间隔或某个给定区域内结果所发生的次数，此类试验叫做泊松试验。

泊松过程

一个泊松试验源自泊松过程。

其特点：

• 在一个时间间隔或范围内所发生的结果的数量与另一个时间间隔或范围内所发生的结果的数量之间是相互独立的。在这种情况下，我们也可以说泊松过程有无记忆性

• 在一个很短的时间间隔或很小的范围内事件发生的概率仅与该时间长度或空间尺度成正比，与在这个时间间隔或小的范围外发生的结果没有关系

• 在这个很短的时间间隔或很小的范围内发生超过一个结果的概率可以忽略

泊松分布

​用 $X$ 表示在一个泊松试验中得到某个结果的数量，它称为 泊松随机变量 ，它的概率分布称为 泊松分布。

泊松分布 $X$表示在给定的时间间隔或指定区域 $t$ 内结果的发生数量，则泊松随机变量 $X$ 的概率分布为：

$p(x;\lambda t) = \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^x}{x!}, x=0,1,2,\dots$

其中 $\lambda$ 表示在单位时间、长度、面积或体积内得到结果的平均数量，e=2.71828...

特点

• 泊松分布 $p(x;\lambda t)$ 的均值和方差均为 $\lambda t$

• 随着均值越来越大，泊松分布的形式越来越对称，甚至成钟形

• 泊松分布是当 $n \rightarrow \infty$ 时的极限形式

正态分布

正态分布又称为高斯分布。

正态分布 均值为 $\mu$ ，方差为 $\delta^2$ 的正态随机变量 $X$ 的密度为：

$n(x;\mu,\delta) = \frac{1}{\sqrt{3\pi\delta}} e^{-\frac{1}{2\delta^2}(x-\mu)^2},-\infty < x < \infty$

特点

• 一旦 $\mu$ 和 $\delta$ 确定，正态曲线也完全确定

• 众数，即横轴上使曲线达到最大值的点在 $x=\mu$ 处取得

• 曲线关于过均值 $\mu$ 的垂线对称

• 曲线有两个拐点 $\mu \pm \delta$ ，当 $\mu - \delta < x < \mu + \delta$ 时，曲线下凸，其他处上凸

• 当曲线向两侧远离均值时，正态曲线渐近于横轴

• 曲线和横轴所包围的面积等于1